عندما تطورت حياة الإنسان، وبدأ ينتقل إلى مرحلة أكثر تعقيداً، وأكثر رقياً، وأخذ يتعامل مع غيره، في التجارة، عن طريق المبادلة، أو المقايضة، شعر بالحاجة إلى أعداد كبيرة نوعاً ما، مما جعله يفكر في طريقة أخرى غير استخدام الحصى، وكانت تلك طريقة استخدام الأصابع في الدلالة على الكميات؛ فقد كانت الأصابع أسهل وسيلة، وأقربها إلى الإنسان، لإجراء عملية العد وضبطها، يقابل الإنسان بين الأشياء المختلفة وبين أصابعه، أصبعاً أصبعاً، وهكذا نشأ العدد، وحيثما وجد الأسلوب العددي، وُجد العد على الأصابع سابقاً له، أو مصاحباً له. والواقع أن الإنسان يجد في أصابعه أداة تمكنه من أن ينتقل بطريقة سهلة إلى العدد الترتيبي، فاستخدم أصابع اليد، ثم القدمين، ولا زالت كلمةDigits" " الانجليزية (وهي تساوي كلمة بضع بالعربية، أي رقم دون العشرة)، والتي تعني الأصابع، تستعمل للتعبير عن الأرقام.
وقد ظهر استخدام الأصابع قبل أن توجد فكرة الأرقام، أي أن اليد كانت "العداد الطبيعي" أو "الآلة الحاسبة"، التي لا زال الكثيرون يستخدمونها إلى الآن. وقد استخدمت بعض قبائل المايا القديمة في الأمريكتين، كلمات مثل "يد" لتدل على "خمسة"، و "رجل" لتدل على "عشرة"، أو اليدين كلتيهما للدلالة على "عشرة"، وربما مجموع أصابع اليدين والقدمين للدلالة على "عشرين". وهكذا كانت نواة ظهور الأنظمة العددية: الخماسي، والعشري، والعشريني كالآتي:
أولاً: النظام الخماسي
نشأ هذا النظام حين كان الإنسان لا يعد إلا على أصابع يد واحدة. ومردُّ ذلك إلى أن الإنسان البدائي، نادراً ما كان يتجول هنا وهناك؛ بحثاً عن مصادر العيش، ويمارس حياته، دون أن يمسك بإحدى يديه، وهي اليمنى في الغالب، عصاً أو سلاحاً ما؛ فإذا أراد أن يعد، عدَّ على يده اليسرى. ومن المعلوم أن الذي يستخدم يده اليمنى، يلجأ غالباً إلى استعمال يده اليسرى في العد. وإذا قورنت كلمة "خمسة" في اللغات السنسكريتية، والفارسية، والروسية، وجدناها تدل على معنى اليد.
ثانياً: النظام العشري
كانت أصابع الإنسان العشرة وراء اختراع النظام العشري، وهو يُمثَّل من خلال مجموعات، يتكون كل منها من عشرة، وقد ظهر هذا النظام لدى عدد من الشعوب القديمة ـ كما سيأتي ـ فكان من يقوم بالعد منهم، يجعل كل عشرة أعواد في حُزمة، وبهذا يكون عدد الأعواد عشرة أمثال عدد الحزم. فإذا زاد عدد الحزم كثيراً، فربما يخطر له أن يعتبر كل حزمة كأنها عود واحد؛ فيجعل حزماً جديدة، كل منها قوى العشرة. وقد تتكرر هذه العملية بأعداد هائلة، مما أدى إلى إدراك المئات، والآلاف، وعشرات (*)الآلاف، وهكذا .
النظام العشريني:
هو ضعف النظام العشري، ويقوم على اعتبار أصابع الإنسان (في اليدين والقدمين) وحدة واحدة، قوامها 20، ولا نزال نجد آثاراً من النظام العشريني، في الكثير من اللغات، ففي الإنجليزية كلمة Score على الوحدة التي تساوي عشرين، ويعدون بها. وفي الفرنسية يعبرون عن الثمانين بقولهم Quatre - Vingt "أربع عشرينات" وعن 95 بقولهم أربع عشرينات وخمسة عشر، أما في اللغة الدانمركية، فلا يزال النظام العشريني يُستعمل بانتظام في تسمية الأعداد، التي تقل عن (100)، ووحدتها العشرون (20، 40، 60، 80). ولا زالت قبائل هنود "المايا" في أمريكا الوسطى، وغيرها، إلى يومنا هذا، تستخدم هذا النظام.
وكان اليوم عند تلك القبائل مقسماً إلى عشرين ساعة، وكانت فرقة الجيش مكونة من 8000 (أي 20 × 20 × 20).
وهكذا، يرجع الفضل إلى أصابع الإنسان في نجاحه في العد، ودون هذه الأداة، ما كان الأسلوب العددي عند الإنسان ليتقدم إلى أبعد من الإحساس العددي الفطري. ويظل العد على الأصابع مستخدماً، إلى يومنا هذا. وإلى عهد قريب، كان العد على الأصابع عادة منتشرة في غرب أوروبا، إلى درجة إنه لا يوجد كتاب مدرسي يعد نموذجياً، ما لم يبين كيفية العد كاملة باستخدام الأصابع.
عجائب العد على الأصابع
عن طريق الأصابع، ظهرت قواعد جمع الأعداد، وضربها. وإلى يومنا هذا، يستخدم الفلاح في وسط فرنسا طريقة غريبة في ضرب الأعداد التي تزيد على (5)؛ فإذا أراد أن يضرب 9 × 8 مثلاً، فإنه يثني 4 أصابع من يده اليسرى (فيكون معنى ذلك 9 لأنه يقصد زيادة الأربعة المثنية على أصابع اليسرى الخمسة)، ويثني 3 أصابع من يده اليمنى (معناها 8 بالطريقة نفسها)، ويكون عدد الأصابع المثنية كلها دالاً على رقم العشرات (7)، بينما حاصل ضرب الأصابع غير المثنية دالاً على رقم الآحاد (2). أي أن الناتج 72!
وقد لوحظ وجود طرق أخرى تشبه هذه الطريقة في أماكن أخرى، مثل صربيا، وسورية، وتركيا. ويبدو أن هذه الطريقة تعود إلى الرومان، الذين كانت إمبراطوريتهم القديمة تشمل هذه الأماكن.
وقد أمكن استخدام الأصابع في الدلالة على أعداد مختلفة لا حصر لها، وذلك بصنع أشكال مختلفة من خلال ثني بعض الأصابع بطرائق معينة. فقد كانت اليد هي العداد الطبيعي، وقد ألف بعض الناس، في القرون الوسطى، استخدام طريقة الأصابع، على مدى واسع، في تجاراتهم مع بعضهم البعض، ومع الأجانب؛ حتى أصبحت كأنها لغة عالمية تدل على الكميات، وقد استخدموا اليد اليسرى لتدل على الأعداد من 1 إلى 90، واليد اليمنى، لتشمل المئات من 100 إلى 900، أي أنهم استطاعوا أن يمثلوا المقادير اللازمة لهم، في التجارة، عن طريق أصابع اليدين. وما زال بعض الصينيين يستخدمون هذه الطريقة إلى الآن، ويستخدمونها بمهارة فائقة لدرجة أنهم يستطيعون المساومة، أثناء الشراء والبيع، بتحريك أصابعهم دون أن يفهم غيرهم ما يفعلون.
هل توجد أنظمة عددية أخرى؟
هناك أنظمة عددية أخرى، غير الخماسي، والعشري، والعشريني، مثل:
النظام الثنائي:
استخدم الحاسب الآلي النظام الثنائي للأعداد بديلاً عن النظام العشري، وذلك لأن الدوائر الإلكترونية تستطيع التعامل مع هذا النظام بطريقة مباشرة وبسيطة.
ويتكون النظام الثنائي للأعداد من:
أولاً: الرقمان صفر، 1
ثانياً: أساس قاعدة النظام، وهو (2)
ثالثاً: أوزان خانات النظام، وهي 02، 12، 22، ...
ومثال على ذلك الرقم 1101 الذي يمكن تمثيله كالآتي:
(1101)2 |
= |
1×02 + 0×12 + 1×22 + 1×32 |
|
= |
1×1 + 0×2 + 1×4 + 1×8 = 13 |
وقد انبثق عن النظام الثنائي للأعداد كل من النظام الثماني للأعداد، والنظام السداسي عشر للأعداد.
النظام الثماني:
يتم تجميع كل ثلاثة أعداد ثنائية متتالية في عدد من أعداد النظام الثماني، ويتكون النظام الثماني من:
أولاً: الأرقام صفر، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7
ثانياً: أساس قاعدة النظام، وهو (8)
ثالثاً: أوزان خانات النظام، وهي 08، 18، 28، ...
ومثال على ذلك، الرقم الثنائي (111101)2 يمكن تحويله عن طريق تجميع كل ثلاثة أرقام ثنائية إلى ما يقابلها في النظام الثماني، وعليه يتم تحويل 101 إلى 5، و 111 إلى 7 بإتباع الطريقة السابقة، ليصبح الرقم (111101)2 مساوياً (75)8 والذي يمكن تمثيله على النحو التالي:
(75)8 = 5×08 + 7×18 = 5×1 + 7×8 = 61
النظام السداسي عشر
يتم تجميع كل 4 أعداد ثنائية متتالية في عدد من النظام السداسي عشر. ويتكون النظام السداسي عشر من:
أولاً: الأرقام صفر، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15
ثانياً: أساس قاعدة النظام، وهو (16)
ثالثاً: أوزان خانات النظام، وهي 016، 116، 216، 316 ...
وعندما يتم اللجوء إلى النظام الثماني أو النظام السداسي عشر كوسيلة مختصرة لتمثيل النظام الثنائي للأرقام. فنفس الرقم (16) تم تمثيله برقمين فقط في النظام الثماني، مقابل 6 أرقام في النظام الثنائي
. ولتحويل الأعداد الستة عشرية إلى أعداد عشرية أضف في منازل الأرقام بدلالة الأعداد العشرية. وتوضح الحسابات أدناه كيفية تحويل العدد الستة عشري (5 هـ 0 ب) إلى العدد العشري 450285
يمكن تحويل الأعداد الثنائية إلى أعداد ستة عشرية باتباع ثلاث خطوات:
(1) ابتداء من اليمين، ضع خطا تحت كل مجموعة مكونة من أربعة أرقام؛
(2) حول كل عدد ثنائي من أربعة أرقام إلى عدد عشري؛
(3) استبدل بالأرقام الستة عشرية المناسبة (أ إلى و) الأعداد العشرية التي تزيد على تسعة. وتوضح الحسابات التالية كيفية تحويل العدد الثنائي 10110101 إلى العدد الستة عشري (5 ب):
0101 1011
0×8 + 1×4 + 0×2 + 1 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1
0 + 4 + 0 + 1 8 + 0 + 2 + 1
5 11
5 ب (للأساس ستة عشر)
ويمكن تحويل عدد ستة عشري مثل (5هـ 0 أ) إلى العدد الثنائي 1010000011100101 بعكس الخطوات الثلاث أعلاه،
موضوع: استخدام الأصابع