غريزة العد عند الإنسان والحيوان

أودع الله ـ عز وجل ـ الإنسان غرائز شتى، من بينها غريزة العد. ولكن هل أودعها الله غير الإنسان من المخلوقات الأخرى؟

يبدو أن بعض المخلوقات تتميز بغريزة العد، إلى درجة محدودة. وهذا ما يقول به كثير من العلماء المعاصرين، ممن يعنون بدراسات سلوك الحيوان والطيور وقد ذكر هؤلاء العلماء أدلة كثيرة بناء على عدة تجارب أجريت على عينات من الطيور والحشرات.

يتميز كثير من الطيور بغريزة العد، وقد عمد بعض العلماء إلى تجربة تثبت ذلك، وتم تكرار التجربة عدة مرات، وخلصوا في النهاية إلى القول بأنه يمكنك أن تقصد عشا لأحد الطيور، به أربع بيضات، وتأخذ واحدة منها، وسترى أن الطائر لا يدرك ذلك، أما إذا أخذت بيضتين، فستلاحظ أن الطائر ينتبه لذلك، ويهاجر تاركاً المكان. والطائر يستطيع بطريقة ما، لا نملك لها تفسيراً، أن يميز بين اثنين وثلاثة.

صيد الغراب:

ثمة قصة تبين غريزة العد لدى الطيور، مؤداها، أن أحد الأشراف أراد أن يصطاد غراباً، بنى عشه في برج ساعة القصر. وحاول ذلك الرجل أن يفاجأ الغراب، ولكن دون جدوى، فكلما اقترب الرجل من البرج، يترك الغراب عشه إلى شجرة بعيدة، حيث ينتظر، ويراقب خروج الرجل من البرج ليعود مرة أخرى إلى عشه. وذات يوم لجأ الرجل إلى خدعة، هي، أن أدخل البرج رجلين، وظل أحدهما داخل البرج ليصطاد الغراب، وخرج الآخر، وذهب بعيداً عن البرج، ولكن الغراب لم يُخدع بهذه الحيلة، فظل بعيداً إلى أن خرج الرجل الذي كان داخل البرج. وتكررت هذه التجربة في الأيام التالية باستخدام رجلين، ثم ثلاثة ثم أربعة، ولكن دون نجاح. وأخيراً أرسل خمسة رجال، دخل جميعهم البرج، وبقي أحدهم فيه، بينما خرج الأربعة الآخرون. وهنا فقد الطائر إحساسه بالعدّ، ولم يستطع أن يميز بين أربعة وخمسة، فعاد مباشرة إلى العش، وتم اصطياده.

الحشرات والعد:

وليست هذه الغريزة العددية قاصرة على الطيور، فإذا راقبنا سلوك حشرة الزنبور، وجدنا الأم تضع بيضها في خلايا، كل بيضة في خلية مستقلة، وتعمد إلى تزويد كل خلية بعدد من اليرقات الحية لكي يتغذى عليها الصغير حين تفقس البيضة، ويخرج منها. ومن العجيب أن نلاحظ تساوي عدد اليرقات في كل خلية، فبعض أنواع الزنابير تضع في كل خلية خمس يرقات، وبعضها يضع اثنتي عشرة يرقة في كل خلية، وبعضها الآخر يضع أربع وعشرين يرقة، في كل خلية.

وثمة حشرة أخرى، تعرف باسم جينوس إيومينوس Genus Eumenus، تتميز بأن الذكر فيها أصغر حجماً بكثير من الأنثى. وبطريقة ما، تعرف الأم إذا كانت البيضة ستفقس، ويخرج منها ذكر أو أنثى؛ فتنظم كمية الغذاء اللازم تبعاً لذلك؛ فإذا كانت البيضة ستفقس ويخرج منها ذكر، فإنها تعد لها خمس يرقات، وأما إذا كانت البيضة ستفقس، ويخرج منها أنثى؛ فإنها تعد لها عشراً.

ويبدو أن ملكة إدراك العدد، وإن كانت محدودة، قد تكون مقصورة، بصورة أو بأخرى، على بعض أنواع معينة من الحشرات والطيور. وأنها تكاد تنعدم تماماً بين الحيوانات؛ فقد فشلت الملاحظات والتجارب التي أجريت على الكلاب والخيول، وغيرها من الحيوانات الأليفة الأخرى، في الكشف عن أي إحساس عددي لديها.

ويبدو أن النحل هو أكثر المخلوقات، باستثناء الإنسان، تمييزاً للعدد، أو تقديراً للمسافات. فالنحلة الشغالة التي تكتشف بستاناً مليئاً بالزهور، ويبعد عن الخلية بما لا يتجاوز خمسين متراً، تأتي تلك النحلة، وتقف على أحد الأقراص الشمعية، وتقوم برقصات دائرية يميناً وشمالاً، ويراقبها باقي النحل، ثم يتجه الجميع مسرعين إلى مكان الرحيق. والشغالات يذهبن إلى المكان، وقد عرفنه جميعاً، دون أن يتبعن النحلة الأولى. أما إذا كان مكان الرحيق أكثر من خمسين متراً، تستخدم النحلة رقصات، يتناقص عددها كلما بعدت المسافة، فهي سبع لفات، عندما تكون المسافة 200 متر، وهي 4.5 إذا كانت المسافة كيلومتراً واحداً، وهي لفتان، إذا كانت المسافة ستة كيلومترات.

الغريزة العددية عند الإنسان:

إن الإحساس العددي عند الإنسان محدود كذلك؛ ففي المواقف العملية، عندما يُطلب من إنسان ما، تحديد عدد أشياء توضع أمامه، فإنه يلجأ بطريقة لا شعورية إلى إحساسه العددي المباشر؛ ليجري عملية التجميع. وقد أثبتت كثير من التجارب أن الإحساس العددي، باستخدام البصر المباشر، نادراً ما يتعدى أربعة، وباستخدام حاسة اللمس أقل من ذلك.

والإحساس بالعدد عند الإنسان يظهر مثلاً عندما يلاحظ الإنسان اختفاء شيء مميز، أو نقص شيء ما، فإذا دخل حجرة بها أناس، سبق له أن رآهم منذ قليل، عرف أن عدد الأفراد بها قد نقص، لأن أحد الوجوه المألوفة غير موجود. وإذا دخل الإنسان صالة عرض (سينما) ونظر إلى مجموعتي المقاعد في الصالة، يمكنه أن يتأكد، بدون عد، إذا ما كانت المجموعتان متساويتين أو لا، وأيهما أكبر من الأخرى.

هذه الحاسة تسمى في علم الرياضيات "الشيء ونظيره" أو "واحد لواحد"، وهي تُبنى، أساساً، على مبدأ التمايز والمقابلة الذي لعب دوراً بارزاً في ظهور فكرة العدد، وصياغته، ولبيان ذلك:

تعوَّد الرعاة القدماء تجميع كمية من الحصى، لدى خروج القطيع إلى المرعى، وكلما خرج فرد من القطيع ـ وهم بالطبع لا يعرفون العدد ـ وضعوا حصاة بدلاً منه، في مكان معين، ولدى عودة القطيع في المساء، كانت تجرى عملية المقابلة، واحد لواحد، ومن ثم يتم التأكد من عودة أفراد القطيع جميعاً، دون نقص في عدد أفراده.

وكانت هذه الحاسة هي النواة، التي انبثق منها، مفهوم العدد.

والعلماء متفقون أن الإنسان، في غابر الأزمان، كان لا يعرف الأعداد الحسابية. وكل ما كان يعرفه هو تقدير الكمية بقليل أو كثير؛ فقد كان لا يعرف الفرق بين ثلاثين، أو ثلاثة وأربعين، أو واحد وعشرين ... إلخ. وغاية الأعداد التي كان يعرفها هي: واحد، واثنان، ثم كثير. ولا زال لفظ الثلاثة في كل من اللاتينية (Tres)، والفرنسية (Tre's)، والإنجليزية (Thrice)، يفيد معنى ثلاثة وكثير في الوقت نفسه.

واحد اثنان فقط

أثبتت الدراسات الأنتروبولوجية، التي أُجريت على الأقوام، الذين يعيشون في مناطق نائية، من بين كثير من القبائل في استراليا، وجزر المحيط الهندي، وأمريكا الجنوبية، وأفريقيا، وهم أشبه بالبدائيين، لم يصلوا بعد إلى مرحلة العد على الأصابع، أنه يكاد ينعدم لديهم التميز العددي. ويقول أحد العلماء، بعد دراسات طويلة، أجراها على الاستراليين البدائيين، أنه لا يوجد، بين الأهالي، من يستطيع تمييز أربعة أشياء، إلا القليل منهم، وأنه لا يوجد استرالي بدائي واحد يستطيع أن يدرك "سبعة" كما أن قبائل الأقزام، في جنوب أفريقيا، ليس لديها كلمات تدل على الأعداد، بعد واحد واثنين!، وإنما هم يطلقون على أي عدد، يزيد عن اثنين، لفظه كثير!

ولو سألت أحد أفراد قبائل الهوتونتوت، في أفريقيا ـ كما ذكر الرحالة الذين تجولوا في أنحاء القارة الأفريقية ـ كم له من الأولاد، أو كم عدداً قتل، وكان العدد يزيد عن ثلاثة، لكان جوابه. كثير !

ومن الحكايات الطريفة في هذا الشأن أن نبيلين من المجر تراهنا فيما بينهما رهاناً، يفوز به من يتفوق على صاحبه في ذكر أكبر عدد ممكن. قال أحدهما لصاحبه:

ابدأ أنت، فاذكر ما عندك.

فاستغرق صاحبه في تفكير عميق، ثم قال: ثلاثة.

وأخذ الآخر يفكر، ثم، بعد فترة، قال مستسلماً: لقد ربحت أنت الرهان.

ولا شك أن غريزة العدّ، عند الإنسان، جعلته يمضي في طريق التقدم، متفوقاً على الطيور والحشرات، وأخذ يخوض التجارب المتواصلة، إلى أن هداه الله إلى اختراع الأعداد، ليحل بها مشاكله الخاصة، في حياته اليومية، وليتعامل مع باقي أفراد جنسه، والعالم من حوله، ليصل إلى هذا المستوى الهائل من التقدم

النشأة الأولى للأرقام في العالم

وقبل الكلام عن غريزة العد في المخلوقات يجدر بالبحث أن يقدِّم تعريفاً للعد، والعدد، والأرقام، والحساب؛ فأمَّا العدُّ: فهو إحصاء الشيء.

وأما العدد: فهو مقدار ما يُعدُّ ومبلغه، وجمعه أعداد.

ومنه العدائد: وهو المال المقتسم والميراث، وهي جمع عديدة: وهي الحصة.

وأما الرقم: فهو الكتابة والختم.

والترقيم: هو تقييد الأعداد.

وأما الحساب: فقد عرَّفه عبدالرحمن بن خلدون، في مقدمته، بقوله:

"هو صناعة عملية في حساب الأعداد بالضم والتفريق، والضم يكون في الأعداد بالأفراد وهو الجمع، وبالتضعيف، تضاعف عدداً بآحاد عدد آخر، وهذا هو الضرب، والتفريق أيضاً يكون في الأعداد، أما بالأفراد مثل إزالة عدد من عدد ومعرفة الباقي، وهو الطرح، أو تفضيل عدد بأجزاء متساوية تكون عدتها محصلة، وهو القسمة، سواء كان في هذا الضم والتفريق على التصحيح من العدد أو التكسير".

والحساب أساس جميع الفروع الرياضية، سواء كانت بحتة أو تطبيقية، وهو أكثر العلوم نفعاً، وربما لا يوجد فرع آخر، في المعرفة الإنسانية، أكثر انتشاراً بين الناس مثله. وموضوعه العدد، والعدد إما مفرد وإما مركب:

فالمفرد: ما وقع في مرتبة واحدة كالواحد، والإثنين، والعشرة والتسعين.

والمركب: ما وقع في مرتبتين أو أكثر، كأحد عشر، وكمائة وثلاثة وثلاثين.

والعدد أيضاً إما زوج، وإما فرد:

فالزوج وهو أنواع:

زوج الزوج: وهو العدد الذي ينقسم إلى قسمين متساويين، وهو ما يقبل التنصيف إلى الواحد، مثل:

8 و 16 و 32

وزوج الفرد: وهو ما يتنصف مرة واحدة فقط، مثل:

6 و 10 و 30

وزوج الزوج والفرد: وهو يتنصف أكثر من مرة واحدة دون أن يصل التنصيف إلى الواحد، مثل:

12 و 20

وأما الفرد فهو:

أي عدد لا يمكن تقسيمه إلى نصفين، بحيث يكون كل منهما عدداً صحيحاً، مثل 1، 3، 7، 11

وهو غير العدد الأولي: الذي هو عدد كامل لا يقبل القسمة، دون باق، على أي عدد آخر، خلاف الواحد الصحيح، وذلك مثل:

3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 43، وهكذا.

عوامل العدد: هي الأرقام التي يقبل العدد القسمة عليها، فمثلاً: 1، 2، 3، 4، 6 هي عوامل العدد 12، لأنه يقبل القسمة عليها كلها.

والأعداد، بشكل عام، أنواع: تامة، وزائدة، وناقصة، ومتحابة.

أولاً: الأعداد التامة:

كل عدد يتساوى مجموع عوامله مع العدد نفسه، يسمى تاماً، وأصغر الأعداد التامة 6، فعواملها 1، 2، 3 مجموعها 6، يلي ذلك 28، وعوامله 1، 2، 4، 7، 14، مجموعها 28، ومن الأعداد التامة 496، و 8128، و 33550336 ولا يوجد في الآحاد سوى 6، وفي العشرات سوى 28، وفي المئات سوى 496، وفي الآلاف سوى 8128. وهي دائماً تبدأ إما بالرقم 6 أو 8 في آحادها. وهي دائماً أعداد زوجية. وجميع الأعداد التامة 17 عدداً فقط.

أما الأعداد الزائدة:

فهي كل عدد مجموع عوامله أكبر منه، مثل العدد 12، الذي مجموع عوامله (1، 2، 3، 4، 6) 16 أكبر منه.

وأما الأعداد الناقصة:

فهي كل عدد مجموع عوامله أصغر من العدد نفسه، مثل العدد 10، فإن مجموع عوامله (1، 2، 5) 8 أقل منه.

وأما الأعداد المتحابة:

وهي كل عددين مزدوجين، أحدهما ناقص، والثاني زائد، إذا كان مجموع عوامل كل منهما مساوياً للآخر، مثل العددين 220، وهو عدد زائد، و 284 وهو عدد ناقص.

(لاحظ أن:

عوامل العدد 220 هي 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

وأن عوامل العدد 284 هي 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

بالإضافة إلى ذلك هناك العدد التخيلي، والعدد الذري، والعدد الكتلي، والعدد الماخي، والعدد المركب، وبيانها كالتالي:

العدد التخيلي imaginary number

ظهر نتيجة البحث عن حلول للمعادلة س² = -1، حيث لا يوجد جذر للأعداد السالبة، وفي الرياضيات القديمة اُعتقد أن هذه المعادلة ليس لها حلاً، حتى عام 1777 حين قام العالم السويسري ليونارد إيلر بتعريف الرمز الحديث ت وقيمتهويسمى العدد التخيلي، وهو يظهر كثيراً في الجبر (جبر المتجهات)، ويدل على أن المقياس (الإحداثي) الذي يمثله يتعامد على المركبة الأفقية (أي يصنع معها زاوية مقدارها 90 ْ).

العدد الذري atomic number

عدد البروتونات الموجودة في نواة الذرة، وهو العدد الذي يمثل العنصر في الجدول الدوري للعناصر، فمثلاً العدد الذري للأكسجين8، وهذا يعني أن ذرة الأكسجين تحتوي على ثمانية بروتونات في نواتها.

العدد الكتلي mass number

هو مجموع عدد البروتونات والنيوترونات الموجودة في نواة الذرة، ويمكن وجود عدد كتلي أو أكثر حسب نظير العنصر (نظير العنصر: يوجد العدد نفسه من البروتونات ولكن يختلف عدد النيوترونات وبالتالي يختلف المجموع وهو العدد الكتلي)

العدد الماخي mach number

النسبة بين سرعة أية طائرة أو قذيفة وبين سرعة الصوت. ومن ثم فإن العدد الماخي 2 يعني ضعف سرعة الصوت، والعدد الماخي 0.75 يعني ثلاثة أرباع سرعة الصوت. ويختلف العدد الماخي لأية سرعة محددة باختلاف الارتفاع والفصل من السنة، وموقع الطيران.

العدد المركب complex number

عدد يتكون من جزء حقيقي وآخر تخيلي. وعلى سبيل المثال فالعدد أ + ب ت(ت=) يمثل عدد مركباً. وتستخدم مثل هذه الأعداد لتحليل البعض الآخر منها، فضلاً عن استخدامها في نظرية التيارات الكهربائية المترددة.

هناك أيضاً الأعداد الصماء: وهي الأعداد التي لا يمكن التعبير عنها بعدد كامل، أو كسر من عدد كالجذر التربيعي.

كيف نشأت الحاجة إلى العد

عاش الإنسان القديم تحيط به ظواهر الطبيعة من كل جانب. وكان هناك الكثير من الظواهر التي تشده إليها، وتدفعه إلى التأمل والتفكير. فحينما يتجه إلى السماء ليلاً يجد النجوم المتلالأة، وإذا اتجه ببصره إلى الأرض، نهاراً، وجد الأشجار الباسقة، وما يحيط به من إنسان وحيوان. وكل هذه، وغيرها، دفعته إلى المقارنة بين هذه الكميات، وإلى أن يحصي عددها، أو يدرك مقدارها، هل هي كثيرة؟ أو كثيرة جداً؟ أو قليلة جداً؟ وهذا في الواقع هو بداية التفكير في العد والأعداد.

تطور طرق العد

تشير الدلائل إلى أن فكرة الإنسان الأول عن الكميات لم تكن واضحة تمام الوضوح؛ فكان ينظر إلى الأشياء التي يراها، باعتبارها وحدة واحدة؛ فإذا كانت مجموعة من الحيوان مثلاً، نظر إليها على أنها وحدة واحدة، وليست أفراداً. ولعل أول طريقة عبر بها القدماء عن الكمية كانت باستخدام الإشارة بالأيدي للدلالة على مقدار الكمية؛ فهي كثيرة جداً، أو كثيرة، أو قليلة، أو قليلة جداً، وكان في كل حالة يفتح الذراعين بقدر معلوم للدلالة على تلك الكمية كوحدة، وهذا يشبه معاملة الأطفال الصغار عندما يعبرون عن الشيء الكثير قبل أن تكون لديهم فكرة عن معنى الأعداد، وأسمائها، وعن النظام العدي، أي أن فكرة الإنسان البدائي عن الكميات كانت فكرة تقريبية، وليست فكرة مضبوطة تماماً. كما أنه لم يستخدم كلمات أو رموزاً للتعبير عن الكمية.

وأتت، بعد ذلك، مرحلة استخدم فيها الإنسان الأشياء، وأوصافها للتعبير عن الكميات. ولم يكن الراعي ليدرك مثلاً أنه يملك خمسة رؤوس من الأغنام، وإنما استخدم الكلمات لمعرفة كميتها، بقوله:
إن عنده واحدة لونها أبيض، وواحدة لونها بني، وواحدة ذات قرون طويلة، وما يشبه ذلك، أي أنه يعرفها فرداً فرداً، بقدر ما تسمح به ذاكرته، وبقدر عدد القطيع، حتى إذا بلغ مقداراً لا تعيه ذاكرته، أو التبست عليه الألوان، أو تعددت الأنواع، وأصبح لديه من كل نوع، أو لون، كمية معينة، شعر بعجز تلك الطريقة، وبدأ يفكر في طريقة أخرى أكثر دقة في العد .

وكانت المرحلة الثانية، هي مرحلة المطابقة بين الشيء ونظيره، أو "واحد لواحد"، كما ذكر البحث من قبل، وتتلخص هذه الطريقة في المقارنة بين الشيء وما يناظره. وكانت تلك النظائر في أول الأمر أشياء بسيطة سهلة، يراها الإنسان، ويحس بها، أو مجموعات معروفة له، كأصابع اليدين، وأجنحة الطير أو مخالبها، وأذني الإنسان، وما شابه ذلك. ومن أمثلة هذا أن يقول رجل لآخر: "قتلت اليوم من الذئاب قدر ما للنعامة من أظلاف" أو "إن عنده من النساء قدر ما عند الإنسان من آذان". وفكرة مقارنة الأشياء بمجموعات معروفة، مثل: الأنف، والأذنين، وأوراق نبات البرسيم، وأظلاف النعام، وأصابع اليد، تقابل اليوم 1، 2، 3، 4، 5، على الترتيب.

ولا ريب أن فكرة التجميع قد سهلت على الإنسان البدائي عملية التفكير في مجموعات تمثِّل المقادير، ولكن هذه المجموعات كانت صغيرة، ولا تصلح للكميات الكبيرة، وهذا ولَّد لدى الإنسان الشعور بالحاجة إلى اختراع طريقة أخرى من طرق المطابقة، وكانت تلك هي طريقة استخدام الحصى، فعدد أفراد القطيع، أو السهام، أو الأشجار، التي يملكها، أو كمية الطير التي اصطادها، يمكن أن يعرف مقدارها عن طريق مطابقتها مع كمية معينة من الحصى. وما زال أفراد بعض القبائل الهندية، في ولاية أريزونا يحمل كيساً به مجموعة من الحصى تطابق كمية ما عنده من الخيل. وقد استخدم بعض الأقدمين بدلاً من المطابقة بالحصى نوعاً من الأحجار المستطيلة على هيئة عصى يحفرون عليها علامات. وكل علامة تقابل فرداً مما يملكون، بحيث يدل مقدار الحفرات، أو الحزَّات على عدد هذا الشيء. ولكن البعض تخلص من الجهد اللازم للحفر على الحجر؛ فاستخدام فروعاً من الأشجار يسجل عليها علاماته بعمل حزات بآلة حادة لتمثل الكميات، التي لديه. ولجأ آخرون إلى استخدام ألياف الأشجار، وعمل عُقد عليها بقدر الكمية الموجودة. ولا شك أن طريقة المقارنة جعلت الإنسان يشعر بشيء من الثقة في معرفة كمية ما عنده من أشياء، عند مقارنتها بالعلامات أو بالحصى.

كما أن هذه الطريقة أعطت فكرة "التساوي" عندما تتم المطابقة، وفكرة "أقل" أو "أكثر" في حالتي عدم المطابقة، وهي، على أي حال، كانت خطوة نحو الأمام في تطور التفكير البشري، إلا أن هذه الطريقة ظلت قاصرة عن أن تدل الرجل البدائي على عدد ما عنده، أو تعطيه اسماً، أو عدداً، يبين المقدار الذي يريده، ليسجل الاسم أو العدد بسهولة، وبساطة، بدلاً من الحصى الذي يحمله، أو الأحجار، وفروع الأشجار التي يحفر عليها.